对纽结 \(K \subset S^3\)，记 \(X_K\) 为其外部，\(G_K = \pi_1 X_K\) 为其纽结群，\(\widehat{G}_K\) 为其投射有限完备化。纽结群有限生成且剩余有限，因此两个纽结群具有相同的有限商群，当且仅当它们的投射有限完备化同构（Dixon、Formanek、Poland 与 Ribes）。

Boileau 与 Friedl 曾问：若两个素纽结的纽结群的投射有限完备化同构，它们是否等价（允许镜像）[BF, Question 1.3]。下面的定理回答了这个问题，并且只需两个纽结之一是素的。

定理. 设 \(K \subset S^3\) 为素纽结，\(J \subset S^3\) 为纽结。若 \(G_J\) 与 \(G_K\) 具有相同的有限商群，则 \(J\) 等价于 \(K\) 或其镜像。

两个假设都不可去掉。纽结与其镜像的纽结群同构，平结与祖母结的纽结群也同构。

背景

此前已知该定理对以下纽结成立：环面纽结与 8 字结（Boileau 与 Friedl；Bridson 与 Reid 在所有三维流形群中证明了 8 字结的情形）、素图纽结（Wilkes）、二桥纽结与含三个缠结的 Montesinos 纽结（Cheetham-West 与徐啸宇）、含至少四个缠结的 Montesinos 纽结（Walton）。由徐啸宇的定理，即 \(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})\) 中的格在格之间是投射有限刚性的，该定理对所有双曲纽结成立。对于双曲纽结以及边界环面位于双曲块中的双曲型卫星纽结，徐啸宇还证明了完备化能识别该三维流形是此类纽结的外部，并使 Dehn 手术一一对应 [X3, Theorem C]。

剩下的是外部含有双曲 JSJ 块的卫星纽结。对这些纽结，我们使用 Biswas 与 Singh 的识别定理 [BS, Theorem A]。对有向纽结 \(J, K\)，以下条件等价：\(J\) 与 \(K\) 作为有向纽结等价；存在同构 \(\widehat{G}_J \to \widehat{G}_K\) 将 \(\mu_J\lambda_J\) 送到 \(\mu_K\lambda_K\) 的一个共轭；存在同构对同一个 \(g\) 将 \(\mu_J\) 与 \(\lambda_J\) 分别送到 \(g\mu_Kg^{-1}\) 与 \(g\lambda_Kg^{-1}\)。我们使用最后一个条件。他们的定理需要对完备化加标记；下面说明对素纽结而言，标记在相差反向与镜像的意义下是自动得到的。下面的证明沿用徐啸宇关于素纽结的 A-多项式是投射有限不变量（至多相差镜像）的证明，只是用 Biswas 与 Singh 的定理代替了 A-多项式的比较。

约化

平凡纽结. 若 \(K\) 平凡，则 \(\widehat{G}_K \cong \widehat{\mathbb{Z}}\) 是阿贝尔群，于是嵌入 \(\widehat{G}_J\) 的 \(G_J\) 是阿贝尔群，\(J\) 平凡。若 \(K\) 非平凡，则 \(\widehat{G}_K\) 包含边缘子群的闭包 \(\widehat{\mathbb{Z}}^2\)，而其阿贝尔化为 \(\widehat{\mathbb{Z}}\)，故 \(\widehat{G}_K\) 非阿贝尔。以下设两个纽结均非平凡，\(\Phi\colon \widehat{G}_J \to \widehat{G}_K\) 为同构。

JSJ 分解. 由 Wilton–Zalesskii 与徐啸宇的工作 [X1, Proposition 5.2, Theorem 5.5; X2, Lemma 9.7(2)]，\(\Phi\) 诱导 JSJ 树之间保持各顶点双曲或 Seifert 类型的同构 \(\theta\)，以及完备化顶点群之间的同构 \(\Phi_v\)。每个 \(\Phi_v\) 将每个 JSJ 环面子群的闭包送到对应闭包的一个共轭。特别地，\(X_J\) 是图流形、双曲流形或混合流形，当且仅当 \(X_K\) 也是。

图流形. Wilkes 证明 [W2, Theorem 4.1]：若 \(K\) 是素图纽结，\(X_J\) 是纽结外部且 \(\widehat{G}_J \cong \widehat{G}_K\)，则 \(X_J \cong X_K\)。由 Gordon–Luecke 定理，\(J\) 是 \(K\) 或其镜像。

双曲外部. 由徐啸宇的格定理 [X4, Theorem 1.2]，\(G_J \cong G_K\)；由 Mostow–Prasad 刚性，\(X_J \cong X_K\)；再用 Gordon–Luecke 定理即可。

剩下要处理混合外部，即含双曲块但本身不是双曲的外部。记 \(P_K = \langle \mu_K, \lambda_K \rangle \cong \mathbb{Z}^2\) 为边缘子群，\(\overline{P_K} \cong \widehat{\mathbb{Z}}^2\) 为其闭包。根是其块包含 \(\partial X_K\) 的顶点。

第一步：\(\theta\) 把根映到根

目前只知道 \(\Phi_v\) 尊重来自 JSJ 环面的边界环面；Seifert 块之间的投射有限同构不一定尊重其余的边界环面。为此，记 \(\partial^{\mathcal{T}} X_v\) 为块 \(X_v\) 中来自 JSJ 环面的边界环面之并。若 \(v\) 不是根，则 \(H_3(X_v, \partial^{\mathcal{T}} X_v; \mathbb{Z})\) 为 \(\mathbb{Z}\)；若 \(v\) 是根，则为 \(0\)。徐啸宇证明了这个群由 \(\widehat{G}_v\) 与 JSJ 环面子群闭包构成的投射有限群对决定，而 \(\Phi_v\) 保持这个群对。因此 \(\theta\) 把根映到根 [X2, Lemma 9.7(1)]。

第二步：一个尊重边界的同构

双曲根. 有限体积双曲三维流形群的完备化之间的同构诱导尖点之间的双射，且对应尖点子群的闭包共轭 [X1, Lemma 6.3]。\(\Phi_{\mathrm{root}}\) 把 JSJ 尖点送到对应的 JSJ 尖点，而不同尖点的闭包互不共轭 [X1, Proposition 6.7(1)]，故它把 \(\partial X_J\) 送到 \(\partial X_K\)。其余各块只有 JSJ 边界，故 \(\Phi\) 尊重边缘结构 [X1, Corollary 6.11]。因此，复合一个内自同构后，\(\Phi(\overline{P_J}) = \overline{P_K}\)。令 \(J^0 = J\)，\(K^0 = K\)，\(\Phi^0 = \Phi\)。

Seifert 根. 由 Budney [Bu, Theorem 4.18]，根是环面纽结外部、缆空间或合成空间。第一种被排除，因为 \(X_K\) 不是 Seifert 纤维空间；最后一种被排除，因为 \(K\) 是素纽结。故 \(K\) 是伴随纽结 \(K^0\) 的 \((p', q')\)-缆结，取定向使 \(q' > 0\)。根的度为 \(1\)，合成空间的度至少为 \(2\)，而 \(\theta\) 保持度，故 \(J\) 同样是伴随纽结 \(J^0\) 的 \((p, q)\)-缆结，且 \(q > 0\)。去掉根之后，\(\Phi\) 的 JSJ 数据诱导同构 \(\Phi^0\colon \widehat{G}_{J^0} \to \widehat{G}_{K^0}\) [X1, Proposition 3.11]。\(X_{J^0}\) 每一块的每个边界环面（包括 \(\partial X_{J^0}\)）都是 \(X_J\) 的 JSJ 环面，故 \(\Phi^0\) 尊重边缘结构 [X1, Corollary 6.11]。伴随纽结不必是素的。

两种情形下，\(X_{J^0}\) 都是双曲的或混合的，且复合一个内自同构后 \(\Phi^0(\overline{P_{J^0}}) = \overline{P_{K^0}}\)。记 \(A\) 为其限制。纽结外部或 JSJ 块的边界子群的闭包等于其自身的正规化子，且是阿贝尔群 [X1, Proposition 6.7(2)]，故 \(A\) 与内自同构的选取无关。这一点在结尾还会用到。

第三步：边界映射是整的

由徐啸宇的边缘正则性定理 [X2, Theorems 1.4 and 9.2]，\(A\) 是某个同构 \(\psi\colon P_{J^0} \to P_{K^0}\) 的完备化。若 \(X_{J^0}\) 是双曲的，每个投射有限同构在每个尖点上都是整的。若 \(X_{J^0}\) 是混合的，则需要 \(\Phi^0\) 尊重边缘结构，且每个 Seifert 块至多含一个边界分支。

在混合情形中，在 Seifert 块的每个边界环面上取基 \((h, e)\)，其中 \(h\) 为正则纤维。在这些基下 \(\Phi_v\) 的矩阵为

\[\begin{pmatrix} \kappa_v & \rho_{v,T} \\ 0 & \tau_v \end{pmatrix}, \qquad \kappa_v, \tau_v \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times,\ \rho_{v,T} \in \widehat{\mathbb{Z}},\]

其中 \(\kappa_v, \tau_v\) 在相差符号的意义下与 \(T\) 无关，且对相邻的 Seifert 顶点有 \(\kappa_w = \pm\tau_v\)，\(\tau_w = \pm\kappa_v\)[X1, Lemma 9.3]。每棵极大 Seifert 子树都与某个双曲顶点相邻，而在那里映射是整的；可逆的上三角整数矩阵的对角元为 \(\pm 1\)。故处处有 \(\kappa_v, \tau_v = \pm 1\)。徐啸宇随后利用关系 \(\sum_T \rho_{v,T} = 0\)，证明外边界环面上的非对角元是整数 [X2, Lemma 9.10; X1, Lemma 8.15]。

第四步：经线与纬线在相差符号的意义下被保持

这是 [X2, Lemma 10.4]。纬线生成 \(P \to H_1(X) \cong \mathbb{Z}\) 的核，而 \(\Phi^0\) 在完备化中保持这个核。故 \(\psi(\lambda_{J^0}) \in \widehat{\mathbb{Z}}\lambda_{K^0} \cap P_{K^0} = \mathbb{Z}\lambda_{K^0}\)，又因它是本原的，它等于 \(\lambda_{K^0}^{\pm 1}\)。

对于经线，令 \(c = \psi^{-1}(\mu_{K^0})\)。由完备化的右正合性，

\[\widehat{\pi_1 X_{J^0}(c)} \;\cong\; \widehat{G}_{K^0} \big/ \overline{\langle\!\langle \mu_{K^0} \rangle\!\rangle} \;\cong\; \widehat{\pi_1 S^3} = 1,\]

其中 \(X_{J^0}(c)\) 是沿 \(c\) 的 Dehn 填充。其基本群剩余有限，因而平凡；由 Poincaré 猜想，\(X_{J^0}(c) \cong S^3\)；再由 Gordon–Luecke 定理，\(c = \mu_{J^0}^{\pm 1}\)。

结论

复合一个内自同构后，\(\Phi^0(\mu_{J^0}) = \mu_{K^0}^{\varepsilon}\)，\(\Phi^0(\lambda_{J^0}) = \lambda_{K^0}^{\eta}\)，其中 \(\varepsilon, \eta = \pm 1\)。反转 \(K\) 的定向使两者同时取逆，取 \(K\) 的镜像使纬线取逆。这些操作以同样方式作用于 \(K^0\)，并保持 \(q' > 0\)。将 \(K\) 换成其反向、镜像或反向镜像后，\(\varepsilon = \eta = 1\)；由 [BS, Theorem A]（对所有纽结成立），\(J^0\) 与 \(K^0\) 作为有向纽结等价。若根是双曲的，证明完毕。

若根是缆空间，记 \(T\) 为根与伴随纽结之间的 JSJ 环面。正则纤维 \(h_J\) 位于 \(\pi_1 T\) 中，并在那里等于 \(\pm(p\mu_{J^0} + q\lambda_{J^0})\)，\(K\) 亦然。仿照 [X2, Theorem 10.13] 的证明，通过边同构 \(\Phi_e\colon \overline{\pi_1 T_J} \to \overline{\pi_1 T_K}\) 比较 \(T\) 的两侧。由同余关系，\(\Phi_{\mathrm{root}}\) 与 \(\Phi^0\) 在 \(\overline{\pi_1 T}\) 上各自在复合某个共轭后限制为 \(\Phi_e\)。

  • 在根一侧，纤维子群的闭包被 \(\Phi_{\mathrm{root}}\) 保持 [W1, Theorem 5.5]，且由于缆空间的底轨形可定向，它是中心的。因此该共轭固定它，从而对某个 \(\kappa \in \widehat{\mathbb{Z}}^\times\) 有 \(\Phi_e(h_J) = \kappa h_K\)。
  • 在伴随纽结一侧，该共轭元把 \(\overline{P_{K^0}}\) 映到自身，故属于 \(\overline{P_{K^0}}\)，作用平凡 [X1, Proposition 6.7(2)]。因此 \(\Phi_e\) 与 \(A\) 一致，而 \(A\) 在标记基下现在是恒等映射。

由此得到

\[\kappa\,(p', q') = \pm(p, q).\]

由于 \(\widehat{\mathbb{Z}}\) 无挠，若 \(x \in \widehat{\mathbb{Z}}\)、\(c \neq 0\) 且 \(cx \in \mathbb{Z}\)，则 \(x \in \mathbb{Z}\)：将 \(cx\) 模 \(c\) 约化即得 \(cx = ca\)，其中 \(a \in \mathbb{Z}\)。于是由 \(\kappa q' = \pm q\) 得 \(\kappa = \pm 1\)，再由 \(q, q' > 0\) 得 \((p', q') = (p, q)\)。因此 \(J\) 与 \(K\) 是等价有向纽结的同一缆结。撤销反向与镜像，\(J\) 是 \(K\) 或其镜像。∎

注记

  1. 素性用于 Wilkes 的定理，以及排除合成空间作为根。两处都不可去掉。
  2. 双曲情形与混合情形依赖徐啸宇关于格的论文：直接使用其定理 1.2，并通过 Biswas 与 Singh 间接使用，他们用到了其中的真实性定理 [X4, Definition 6.1 and Proposition 16.3]。撰写本文时，两篇论文都是预印本。

参考文献

  • [BS] Biswas, I. and Singh, S. (2026). Recognizing oriented knots from finite quotients with one marked element. arXiv:2610.13260
  • [BF] Boileau, M. and Friedl, S. (2020). The profinite completion of 3-manifold groups, fiberedness and the Thurston norm. In What’s Next? The Mathematical Legacy of William P. Thurston, Ann. of Math. Stud. 205, 21–44. arXiv:1505.07799
  • Bridson, M. R. and Reid, A. W. (2020). Profinite rigidity, fibering, and the figure-eight knot. In What’s Next?, Ann. of Math. Stud. 205.
  • [Bu] Budney, R. (2006). JSJ-decompositions of knot and link complements in \(S^3\). Enseign. Math., 52, 319–359.
  • Cheetham-West, T. and Xu, X. (2026). Profinite rigidity for two-bridge links and 3-tangle Montesinos links. arXiv:2603.20822
  • Dixon, J. D., Formanek, E. W., Poland, J. C. and Ribes, L. (1982). Profinite completions and isomorphic finite quotients. J. Pure Appl. Algebra, 23, 227–231.
  • Gordon, C. McA. and Luecke, J. (1989). Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc., 2, 371–415.
  • Walton, H. (2026). Profinite rigidity of hyperbolic polygon reflection groups, with an application to Montesinos knots. Preprint.
  • [W1] Wilkes, G. (2017). Profinite rigidity for Seifert fibre spaces. Geom. Dedicata, 188, 141–163.
  • [W2] Wilkes, G. (2019). Profinite rigidity of graph manifolds, II: knots and mapping classes. Israel J. Math., 233, 351–378. arXiv:1801.06386
  • Wilton, H. and Zalesskii, P. (2017). Distinguishing geometries using finite quotients. Geom. Topol., 21, 345–384.
  • Wilton, H. and Zalesskii, P. (2019). Profinite detection of 3-manifold decompositions. Compos. Math., 155, 246–259.
  • [X1] Xu, X. (2025). Profinite almost rigidity in 3-manifolds. Adv. Math., 480, 110505. arXiv:2410.16002
  • [X2] Xu, X. (2025). On regularity of profinite isomorphisms between cusped hyperbolic 3-manifolds and the A-polynomial. arXiv:2506.21105
  • [X3] Xu, X. (2024). Profinite rigidity witnessed by Dehn fillings of cusped hyperbolic 3-manifolds. arXiv:2412.05229
  • [X4] Xu, X. (2026). Profinite rigidity in lattices of \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})\). arXiv:2608.07350