嘿，水手！
你刚结束一段漫长的航行，穿越了四维的大海。环顾四周，地平线不是一个圆，而是一个球面。翻涌的海面也不是薄薄的一层水，而是整整一块体积的海水，从三维水手叫不出名字的方向拍打着你的船身。除了船头船尾、左舷右舷、上和下，这里还有第四根轴，而你的船可以沿着它航行。19世纪80年代，查尔斯·辛顿（Charles Hinton）一直在想办法教人们想象四维空间，他给这根轴的两个方向起了名字：ana 和 kata。从那以后，四维水手们就一直这么叫。
港口的堤岸正从你船头的 ana 侧迎面而来，该靠岸系船了。
1. 称人结从 ana 方向溜走了
你把缆绳绕上系缆桩（这个港口的缆桩高得没有尽头），打了个称人结，跳上了岸。身后，绳结悄悄松开了。一股绳往 ana 方向一迈，从另一股旁边滑了过去，整个称人结就散了。
在三维空间里，绳结之所以系得住，是因为绳子穿不过绳子。可到了四维，就有办法绕过去了。大海、天空和你周围的每一个点都有四个坐标 \((x, y, z, w)\)。前三个和平常一样，\(w\) 则表示这个点往 ana 方向（\(w > 0\)）或 kata 方向（\(w < 0\)）偏了多远。数学家把这个空间叫作 \(\mathbb{R}^4\)。
你摆弄着缆绳，让它自己交叉一下，再把上面那股往 ana 方向提起来。现在它和下面那股的 \(w\) 不同了，所以两股绳可以占据同一个 \((x, y, z)\) 位置而互不接触。你把它沿 \(z\) 方向往下移，再挪回 kata 方向，交叉就换了过来，两股绳却自始至终没有碰到过。
图中用颜色表示 \(w\)：蓝色是 kata，米白色是 \(w = 0\)，橙色是 ana。两段绳子只有位置相同、颜色也相同时，才会碰到一起。
能随意交换绳子的交叉，就足以解开任何绳结。在任意一张纽结图上选一个起点，沿着整条绳子走一圈。每当第一次走到一个交叉点，就让你所在的这一股变成上面那股；如果它本来就在上面，就不用动。这样得到的新图总是等价于平凡结。
所以，任何纽结经过若干次交叉交换都会变成平凡结，而在 \(\mathbb{R}^4\) 里，每一次交叉交换都不费吹灰之力。四维的浪一波接一波地拍打你的船，就连摩擦力也拉不紧你的绳结，绳子被折腾到最后，总会散开。
问题出在余维数上，也就是空间的维数减去其中物体的维数。绳子是一维的，扭在三维空间里，余维数是 2。这点空间足够让它绕过另一股绳，却不够让它穿过去。在 \(\mathbb{R}^4\) 里，绳子的余维数是 3，多出来的这一维让每个交叉都能自己解开。
2. 找个东西系上
这么说，绳结是指望不上了。可就连平凡结也不行。把一圈闭合的绳子套在缆桩上，它照样会从 ana 方向滑过缆桩溜走。港务长笑了。这样手忙脚乱的外来水手他见得多了，便好心地给你指了指码头那头另一种缆桩。
问题出在环绕数上。一边是你的绳子所张成的曲面（一个二维圆盘），另一边是缆桩（一条一维的线，在其余几个维度上，包括第四维，都长了不少肉）。真正起作用的只有那条线，因为缆桩可以一直瘦下去，瘦成这条线，全程碰不到绳子。我们把它叫作缆桩的核心。环绕数数的是核心穿过圆盘的点：从正面穿到背面记 \(+1\)，从背面穿到正面记 \(-1\)。所以套在缆桩上的绳圈，环绕数是 \(\pm 1\)；躺在码头上的绳圈，环绕数是 0。
在三维空间里，只要绳圈完好，这个数就不会变。穿过点只有移出圆盘的边缘才会消失，而圆盘的边缘就是绳子本身。换句话说，在三维空间里，不剪断绳子，就没法把环绕数为 \(\pm 1\) 的状态变成环绕数为 \(0\) 的状态。
不过，这要求核心和圆盘只在孤立的点上相交。在 \(\mathbb{R}^n\) 中，一个 \(a\) 维物体和一个 \(b\) 维物体，当 \(a + b = n\) 时相交于孤立的点；当 \(a + b < n\) 时，稍微推一下就能把它们完全分开。在三维的码头上，\(2 + 1 = 3\)，所以圆盘和核心交于一点，缆桩就系得住。在 \(\mathbb{R}^4\) 里，\(2 + 1 < 4\)。把核心往 ana 方向推一下，它就完全错过了圆盘，你的船也就漂走了。要想再和圆盘交于一点，核心还需要多一个维度，\(2 + 2 = 4\)。它必须是一个平面。
同样的计数对闭合的面也适用。一维的绳圈围出一个二维的圆盘；同样，把一个二维的面合拢起来，就围出一个三维的球。一个闭合的 \(p\) 维”圈”张成一个 \((p+1)\) 维的”圆盘”，所以在 \(\mathbb{R}^n\) 中，维数为 \(q\) 的核心能拴住它的条件是
\[p + q = n - 1.\]二维平面上的一个零维的点，也满足这个条件。
你刚才试着系船的那根缆桩，是普通系缆桩最直接的四维版本：在 \(x\)、\(y\)、\(w\) 三个水平方向上都是圆的，沿 \(z\) 方向向上延伸。它的核心是一条线。港务长的缆桩只在 \(x\) 和 \(y\) 方向上是圆的，沿 \(z\) 向上延伸，还沿 \(w\) 方向朝 ana 和 kata 两边无限延伸，所以它的核心是 \(zw\) 平面。
一个截面一个截面地看港口，就能看出两者的区别。固定 \(w\) 的截面，就是一个普通的三维空间。
越往 ana 方向走，圆缆桩就越细，就像一个球的截面，最后干脆没了。绳子往 ana 方向迈过它的边缘，横着一滑，再从 kata 方向回来，就到了缆桩旁边。长缆桩在每个截面里都有，所以不管绳子跑到哪里，缆桩始终穿在绳圈里。
港务长拿来一卷绳子，绕过他的长缆桩和你甲板上一个同样形状的羊角，再把两头插接成一个圈。你的船终于系好了，而且一个结也没打。
3. 想念绳结？拿块油布吧
船是安全了，可你会的绳结全都没了用处。捆不了货箱，挂不了护舷，也系不住帆。港务长见你捧着一截绳子翻来覆去、满脸惆怅，便递给你一块油布。”想打结？那就别用绳子了。”
油布是二维的，所以在 \(\mathbb{R}^4\) 里它的余维数是 2，和三维空间里的绳子一样。这正是绳结需要的空间。要把一块布从另一块布旁边提过去，得有一个多余的维度，而 \(\mathbb{R}^4\) 里的布没有。不过，光凭这一点还不能证明哪块布真的打了结。我们最好先说清楚，要找的到底是什么。
把油布合拢成一个没有开口的袋子，也就是一个球面。最朴素的球面，就是放在某一个三维截面里的一个球的表面。如果 \(\mathbb{R}^4\) 中的一个球面，无论怎样移动（不许自己穿过自己）都变不成那个朴素的球面，就说它是打了结的。这和绳子是一个道理：绳结就是一个没法变回普通圆圈的绳圈。
1925年，埃米尔·阿廷（Emil Artin）造出了第一个这样的球面。他的做法是拿一根打了结的绳子，旋转它。
在三维空间里旋转很简单。把一个半圆绕着过它两端的直线转一圈，就扫出一个球面。在四维空间里，旋转是绕着一个平面，而不是一条直线。一个混合 \(x\) 和 \(w\) 的旋转会让 \(yz\) 平面保持不动，其余每个点都沿着一个圆运动：先往 ana 方向转出去，转过半圈后回到平面另一侧的普通空间，再从 kata 方向转回原处。
那我们就学阿廷，在四维空间里转一个结。打一个简单的三叶结，在一处剪开。把两个新剪出的绳头搁在一个平面上，然后开始旋转。两个绳头不动，其余的弧线扫过一圈，于是得到一个打了结的球面，旋转的每个角度上都有一份这条打结弧线的拷贝。
要用油布做出它，就在弧线旋转时经过的每一处都铺上油布。从图上看，油布好像穿过了自己，但在你的四维世界里，你看得出那些地方的 \(w\) 并不相同。
你可以像刚才看缆桩那样，一个截面一个截面地看这个打结的球面。
在 \(w = 0\) 处，截面是这条弧线和它的镜像连在一起，也就是一个右手三叶结接着一个左手三叶结。往 ana 或 kata 方向移动，离平面最近的部分就会从截面中消失，绳结断成几个圈，这些圈越缩越小，最后在球面的边缘消失。
阿廷证明了，在四维空间中，没有任何运动能把这个球面变成朴素的球面，正如在三维空间中，没有任何运动能把三叶结变成一个普通的圈。
油布还能救回那根圆缆桩。一张面的 \(p = 2\)，所以一条线状的核心就能拴住它。任选一个 \(z\) 位置，看那里的 \((x, y, w)\) 三维截面，圆缆桩在这个截面里是一个球。用油布把这个球整个包起来，再把布边熔合在一起，就像港务长插接绳子那样，把球封进一个闭合的袋子里。
4. 解缆启航
到了早上，四维的涌浪已经平息，该出发了。你的船昨晚系了两道，因为你玩得太开心，一道根本不过瘾。一道是港务长的绳子，插接在他那根以平面为核心的长缆桩上；另一道是你的油布，封住了以直线为核心的圆缆桩和你甲板上的一个圆羊角。你伸手去解，却发现没有什么可解的。两道都是闭合的，昨晚保你平安的环绕数，现在反过来也一样管用：只要不打开，谁也取不下来。
港务长已经拿着一把刀，沿着码头走过来了。”跟系船一样，”他说，”只是倒过来。”他割断绳子，绳圈应声散开。他又划开油布，布一有了边，就从缆桩上滑了下来。他把油布卷成一团，扔上你的船。”你要去的地方，用得着它。”
你撑船离岸，挥手告别，码头渐渐隐没在船尾的 kata 方向。你要去探索百慕大四面体，那里的船会从 ana 方向悄然溜走，从此再也不见踪影。出发之前，你最好先补一补四维流体力学（即将推出）。
一帆风顺，水手，船上记得常备一块油布。
参考文献
- Artin, E. (1925). Zur Isotopie zweidimensionaler Flächen im \(\mathbb{R}_4\). Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 4, 174–177. doi:10.1007/BF02950724
- Hinton, C. H. (1888). A New Era of Thought. Swan Sonnenschein.